1.1 模型的建立
| 垂向一维模型的基本思想是把水体划分为如图1所示的一系列水平薄层，忽略水平薄层中的温度变化，假设热交换只沿垂向进行，水平面温度均匀分布，可对水平薄层写出其质量和能量守恒方程. 1.1.1 质量守恒方程 在水体中任取一单元，其质量守恒方程可表示为：  =Qv,j-1 - Qv,j + Qi,j-1 - Q0,j + Qa (1)式中Vj为第j层的体积，除表层外其它各层的  Qa为表面降雨及蒸发的净值，除表层外其它各层Qa=0；Qv,j及Qv,j-1为第j层及第j-1层的垂向流量；Qi,j及Q0,j为第j层水平向的进流和出流流量.1.1.2 热平衡方程 对水体内各单元，其热平衡必须考虑水平向进、出流的热量，垂向移流的热量和离散的热量，太阳短波辐射热量以及由这些因素引起的单元体内热量的变化.对第j单元其平衡方程为：   (2) |  图1 水库垂向分层示意图 |
式中Cp为比热；ρ为密度；Hsz=Hs*e-ηz是水深z处的太阳短波辐射热量.η为短波在水中的衰减系数，一般为0.1m-1到0.2m-2之间；A为垂向的过流面积；Dz为垂向混合系数.式(2)适用于除表面单元外的其他单元，即J＜N的各层.对J=N的表面单元要考虑水面交换的问题，式中的太阳短波辐射项需用水面热交换量与单元N底部的太阳短波辐射热量之差来代替.即表层应按下式计算：
(3)
1.2 密云水库水面热交换热通量的计算
要得出水库的水温结构，必须先计算水面热交换热通量.一般来说，水面热交换包括辐射、蒸发、传导三个方面，具体地，通过水面而进入水体的热通量φm为：
φn=φsn+φan-φbr-φe-φc (4)
式中φsn——太阳短波辐射与水面对短波辐射的反射；φan——大气长波辐射及水面对长波的反射；φbr——水体的长波返回辐射；φe——净蒸发；φc——热传导.
(1)太阳短波辐射与水面对短波辐射的反射φsn
φsn一般可引用现场或邻近主要气象台站所测得的太阳辐射量值，扣除水面反射部分后求得.
φsn=φs*(1-γs)， (5)
式中：φs总辐射量；γs代表反射率，参考其它水库［6，7］，密云水库取0.1.日照总辐射φsn经过水面反射后，部分进入水库水体，其中一半左右在水面被吸收，剩余部分按指数衰减进入水体深处.计算公式如下：
φy=(1-B)*φsn*exp(-η*z)
式中：B为水面吸收率，参照其它水库，密云水库取B=0.5；η为衰减系数.
(2)大气长波辐射及水面对长波的反射φan
φan值须根据气温及云量观测间接计算，公式为：
φsn=(1-γa)*σ*εa*(273+Ta)4 (w/m2) (6)
式中Ta是水面以上2m处的气温，单位为℃；γa为长波反射率，取0.03；σ是Stefan-Boltzman常数，为5.67×10-8W/m2*K4；εa是大气的发射率，它和温度有密切关系.晴天的大气发射率εac可用Idso及Jackson公式算出：
εac=1-0.261*exp(-0.74×10-4Ta2);
多云天的大气发射率，可用Bolz公式算出：
εa=εac*(1+KC2)，
式中C是云层覆盖比例.K是云层高度确定的，美国田纳西工程管理局推荐其平均值0.17.
(3)水体的长波返回辐射φbr
水体吸收的大气长波辐射能量会向大气进行返回辐射，是水体热损失的很重要的一部分.当把水体作为绝对黑体看待时，φbr可由Stefan-Boltzman四次方定律来计算：
φbr=σ*εw*(273+Ts)4 (7)
式中Ts为水面温度，单位为℃；εw为水面的长波发射率，它是一个常数.由于水体并非绝对黑体，εw略小于1为0.97.
(4)水面净蒸发热通量φe
估算蒸发的方法很多，其中大多数是经验性的.蒸发的热转换公式通常为：
φe=f(w)(es-ea) (W/m2) (8)
式中es为相应于水面温度Ts紧靠水面的空气的饱和蒸发压力：
es=exp［20.85-5278/(Ts+273.3)］ (mmHg)
ea为水面上空气的蒸气压力，单位mmHg.
f(w)为用风速表示的风函数.一般来说风函数包括了自由对流及强迫对流两者对蒸发的影响.可按下式计算风函数：
f(w)=9.2+0.46W2z (W/m2*mmHg)
式中Wz为水面以上10m的风速，单位为m/s.
(5)热传导通量φc
当气温不等于水温时，水汽交界面上会通过传导进行热交换，热传导率正比于两种介质之间的温度差.类比于蒸发热损失计算式，有：
φc=0.47f(w)*(Ts-Ta) (W/m2) (9)
现将密云水库91年、92年各种热交换数值列入表2中：
(3)1.2 密云水库水面热交换热通量的计算
要得出水库的水温结构，必须先计算水面热交换热通量.一般来说，水面热交换包括辐射、蒸发、传导三个方面，具体地，通过水面而进入水体的热通量φm为：
φn=φsn+φan-φbr-φe-φc (4)
式中φsn——太阳短波辐射与水面对短波辐射的反射；φan——大气长波辐射及水面对长波的反射；φbr——水体的长波返回辐射；φe——净蒸发；φc——热传导.
(1)太阳短波辐射与水面对短波辐射的反射φsn
φsn一般可引用现场或邻近主要气象台站所测得的太阳辐射量值，扣除水面反射部分后求得.
φsn=φs*(1-γs)， (5)
式中：φs总辐射量；γs代表反射率，参考其它水库［6，7］，密云水库取0.1.日照总辐射φsn经过水面反射后，部分进入水库水体，其中一半左右在水面被吸收，剩余部分按指数衰减进入水体深处.计算公式如下：
φy=(1-B)*φsn*exp(-η*z)
式中：B为水面吸收率，参照其它水库，密云水库取B=0.5；η为衰减系数.
(2)大气长波辐射及水面对长波的反射φan
φan值须根据气温及云量观测间接计算，公式为：
φsn=(1-γa)*σ*εa*(273+Ta)4 (w/m2) (6)
式中Ta是水面以上2m处的气温，单位为℃；γa为长波反射率，取0.03；σ是Stefan-Boltzman常数，为5.67×10-8W/m2*K4；εa是大气的发射率，它和温度有密切关系.晴天的大气发射率εac可用Idso及Jackson公式算出：
εac=1-0.261*exp(-0.74×10-4Ta2);
多云天的大气发射率，可用Bolz公式算出：
εa=εac*(1+KC2)，
式中C是云层覆盖比例.K是云层高度确定的，美国田纳西工程管理局推荐其平均值0.17.
(3)水体的长波返回辐射φbr
水体吸收的大气长波辐射能量会向大气进行返回辐射，是水体热损失的很重要的一部分.当把水体作为绝对黑体看待时，φbr可由Stefan-Boltzman四次方定律来计算：
φbr=σ*εw*(273+Ts)4 (7)
式中Ts为水面温度，单位为℃；εw为水面的长波发射率，它是一个常数.由于水体并非绝对黑体，εw略小于1为0.97.
(4)水面净蒸发热通量φe
估算蒸发的方法很多，其中大多数是经验性的.蒸发的热转换公式通常为：
φe=f(w)(es-ea) (W/m2) (8)
式中es为相应于水面温度Ts紧靠水面的空气的饱和蒸发压力：
es=exp［20.85-5278/(Ts+273.3)］ (mmHg)
ea为水面上空气的蒸气压力，单位mmHg.
f(w)为用风速表示的风函数.一般来说风函数包括了自由对流及强迫对流两者对蒸发的影响.可按下式计算风函数：
f(w)=9.2+0.46W2z (W/m2*mmHg)
式中Wz为水面以上10m的风速，单位为m/s.
(5)热传导通量φc
当气温不等于水温时，水汽交界面上会通过传导进行热交换，热传导率正比于两种介质之间的温度差.类比于蒸发热损失计算式，有：
φc=0.47f(w)*(Ts-Ta) (W/m2) (9)
现将密云水库91年、92年各种热交换数值列入表2中：
表2 密云水库水面热交换计算(W/m2)
(10)
当水库有多条河流入流时，按上述方法逐个计算，然后叠加.由于水温(密度)分层的影响，出库水流只在水库中一定厚度的范围内流动.出库流动层的中心高程为出水口中心高程.对于出水层厚度δ0：
(11)
当水库有多个出口时，按上述方法逐个计算，然后叠加.
(13)
Zb为库底高程.
